高考数学专项辅导

高考数学复习策略

内容摘要：

数学高考 是从学生熟悉的知识入手，宽角度、多视角、多层次的将知识、能力与素质融为一体，全面检测考生的数学素养。为此，我们在备考中需要注重学生能力的培养，讲究复习策略，挖掘学生潜力 。 the first，研究考纲，钻研高考试卷，把握命题规律，学做命题专家。第二， 培养质疑，注重数学思想，夯实通性通法 。第三，通过 收集、改正、分享及应用错题集， 以“错”纠错，查漏补缺。第四，树立陷阱防范意识，培养学生创新思维。

关键词： 高考备考、复习策略、数学

一、研究考纲，钻研高考试卷，把握命题规律，学做命题专家

所谓“纲”，主要指《普通高等学校招生全国统一考试大纲》、《普通高等学校招生全国统一考试说明》及《普通高中课程标准》（以下简称《大纲》、《考试说明》和《标准》）。《大纲》 明确指出：数学学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”为原则，确立以“能力立意”为指导思想，将知识、能力与素质融为一体，全面检测考生的数学素养。

1. 命题要求及试卷特点

《考试说明》 中对考什么、考多难、怎样考这三个问题的具体规定和解说。试卷结构稳定，难度平稳。试题坚持能力立意 ， 注重数学思想与方法，注重重点知识重点考查， 试题坚持有利于进入高校继续学习，有利于数学素养的考察。体现数学的基础、应用、工具性的学科特点。因此，在在备考中结合历年真题，让学生熟悉试卷特点，考点的分布与整合，掌握命题技巧，有目的、有计划的进行系统复习。

2. 命题技巧

（ 1 ）从教材中改编：许多高考试题源于课本，略高于课本，它们是由课本的例题、习题进行变式、迁移、整合、综合而成。例如： 的三个内角 A ， B ， C 成等差数列，三边 a,b,c 成等比数列则 的形状是（ ）

A ．等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

本题是 2014 年陕西卷高考试题，考察了等差中项、等比中项及余弦定理，也是必修 5 （人教版） 第 74 页习题 4 和选修 2-2 （人教版）第 85 页 例题的整合。在高考备考中我们可以把两个或两个以上的考点嫁接起来，增加试题的综合性，培养学生的分析能力。例如：把选修 2-2 （人教版），第 60 页 B 组第 1 题和选修 2-3 （人教版）， 46 页习题第 8 题嫁接起来。已知 m= , 则 的展开式的常数项是（ ）

A. B. C. -10 D.  

（ 2 ）知识点的交汇处命题：在高考备考中，师生就全国Ⅱ卷第 17 题考数列还是考解三角形问题上，绞尽脑汁，做了许多归纳猜想。有这个必要吗？ 2014 年高考已有明确的答复：（ 2014 陕西卷） 17. 的内角 所对的边分别为 .

（ ）若 成等差数列，证明： ；

（ ）若 成等比数列，求 的the first小值 .  

本题属于中档题，考察了等差中项、等比中项、和角的正弦公式及余弦定理。以函数为网络结点把数列与解三角形结合了起来，体现出数列与三角的交汇。因此，我们在备考过程中需关注各考点的网络交汇，让学生认清合个考点之间的内在。

（ 3 ）以函数为纽带，嫁接各知识点：函数是高考数学试卷的经络，借助函数能更好的考查数学思想、方法，体现能力。如：已知等比数列 , 且 , 则 的值为 。本题着重考查等比数列的性质，把定积分的几何意义嫁接到题干中，虽然未增加题的难度，但有利于考生综合能力和思维的跳跃性考查，同时拓宽了试卷的覆盖面。再如：已知函数 是 R 上的偶函数，且在区间 上是增函数 . 令 ，则（ A ）  

A ． B. C. D.  

掌握命题技巧，学做命题专家是掌握试卷特征，整体把握各个知识点的网路交汇，暴露自己弱点的行之有效的策略。适时组织学生自己命题，相互检测，有利于学生对数学概念、性质的理解和应用。

二、培养质疑，注重数学思想，夯实通性通法

数学是思维的体操，“质疑”是开启思维的钥匙。那么，课堂教学中如何培养学生的质疑，夯实数学思想方法呢？ 数学思想是对数学事实与理论经过概括后的本质认识，是学好数学的精髓。《新课程标准》指出： “人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”。 就是说高考the first重视的是具有普遍意义的方法和相关的知识。强调是学生掌握解决数学问题的通性通法。也就是高中数学课堂教学中关注学生的“四基七能、五思十法 ”。

1. 函数与方程的思想

函数与方程的思想是指：应用函数的概念和性质，从问题的数量关系入手去分析问题、转化问题、解决问题。例 若函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是 。本题借助函数与方程思想进行转化，即：函数零点问题 方程根的问题 函数图象交点问题。得出不等组 。从宏观到微观，考查了函数的零点、极值、方程的根。如果引导提出质疑，“若函数 一定有三个不同的零点吗”？“当有两个或一个零点时，如何求得 的取值范围”？ 把质疑、解疑作为教学过程的重要组成部分 是寻找通性通法根本。

2. 数行结合思想  

常言道：“数无形，少直观，形无数，难入微”。借助函数图像直观及变化规律，通过观察，验证达到目的，有事半功倍之效。例 设 均为正数，且 ．则（ ）。

A ． B ． C ． D ．  

本题只要在同一坐标系中绘制出函数 的图像，结论显然。如何构建函数图像阐释数量关系是学生学习数学的一个难点，也是数形结合思想形成的重要阶段，荷塘教学中借助该题的入口提出质疑，“我为什么没想到呢”？启迪思维，让学生再次思考将能举一反三，夯实基础。

3. 分类讨论思想

分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础问题的解答，解决原始问题的策略。在分类讨论时强调“不漏不重”，首先，选择分类的标准，其次，逐步分类讨论，the first后，归纳总结。在课堂教学中，学生对分类的标准经常会提出质疑，“你是怎样想到按这一标准分类”？是啊！空集是任何集合的子集、垂直于 x 轴的直线斜率不存在、在与不在的问题、恒成立问题……都有可能成为分类讨论的起点，需要我们归纳总结，培养严谨的数学习惯。

4. 化归转化思想

化归转化思想是辩证唯物主义的基本观点，是从运动变化发展的观点出发，化不知为已知、化复杂为简单、化抽象为直观、化含糊为明朗的解题策略。例 若 a>1 ，设函数 的零点为 m, 的零点为 n ，则 的取值范围是 。本题着重考查了函数的零点，互为反函数的图像特征及基本不等式，体现了数学的化归转化思想，数形结合思想。然而，学生能否想到 m+n 为定值？能否用线性规划解决这个问题等等，需要教师在课堂教学中循循善诱，归纳解决单变量问题的the first值和双变量问题的the first值的通性通法。

5. 建模思想

数学建模是运用数学语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画解决实际问题的一种有效的数学手段。课标中也做了相应的要求：“探索具体问题中的数量关系和变化规律；能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系；结合函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测”。例 若函数 在 上的导函数为 ，且不等式 恒成立，又常数 满足 ，则下列不等式一定成立的是（ ）。

A ． B ． C ． D ．  

本题从商的导数公式出发，建立函数模型，根据函数的单调性解决问题，逐步体现出数学建模思想。课堂教学中可以改变已知条件，如改 为 或者改 为 结果又将如何……，培养学生的发散思维。

三、以“错”纠错，查漏补缺

1. 认真管理好错题集

《错题集》是我们把平时做作业和考试中的错误收集存档、改正、分享及应用的一本好书。曾有人把试卷看成是一张一张的网，每次考试都相当于在捕鱼。如果发现有鱼从渔网上漏掉，就要及时修好渔网，下次捕鱼时才不至于有鱼再从这个洞里漏掉。学习知识也是这样。整理错题集是寻找自己的弱点和不足的有效途径，常言说得好，失败是成功之母，多数有用的经验都是从错误中总结出来的。因此，整理、管理好《错题集》是我们了解自己的不足，及时补救，适时清除学习障碍和隐患，培养良好的学习习惯，提高学习效率的有效策略。

在收集、存档时，the first好把错题都摘录一个固定的本子上，形成独具个性的学习轨迹，便于自己以后查阅，也有利于知识的梳理、识记、储存和提取。在错题收集时候，一定要分类。可以根据错误原因分类，也可以根据模块知识分类。

在错题改正时，首先，独立分析错误原因，如这道题错在什么地方？为什么错？其次，分析考点，找出正确答案并订正。the first后，认真思考，这道题有没有其他解法？哪种方法更好？做到举一反三。

在错题的应用上，学会改编，把题目中的条件和结论换一下，还成立吗？把条件减弱或者把结论加强，命题还成立吗？或者尝试着编一道类似的题目，还能做吗？……经历上述思维洗礼，我们对知识的理解会更深刻，对方法的把握会更透彻。 例如

错题集

时间 ： 2015 年 11 月 12 日 类别 ： 集合与简易逻辑 来源 ：第三次月考

错题 ：已知集合 A ＝ { x | x 2 － 3 x － 10 ≤ 0} ， B ＝ { x | m ＋ 1 ≤ x ≤ 2 m － 1} ，若 A ∪ B ＝ A . 求实数 m 的取值范围．

考点分析 ：不等式（组）的解法、集合之间的关系，分类讨论思想，化归转化思想

错因分析 ：首先，未考虑 B ＝ ∅ ，及 时 m 满足的条件。其次，由 A ∪ B ＝ A 未能得到 ，the first后，端点值没能检验。

更正 ∵ A ∪ B ＝ A ，∴ B ⊆ A . ∵ A ＝ { x | x 2 － 3 x － 10 ≤ 0} ＝ { x |2 ≤ x ≤ 5} ．

①若 B ＝ ∅ ，则 m ＋ 1>2 m － 1 ，即 m <2 ，故 m <2 时， A ∪ B ＝ A ；

②若 B ≠ ∅ ，如图所示，则 m ＋ 1 ≤ 2 m － 1 ，即 m ≥ 2. 由 B ⊆ A 得 解得－ 3 ≤ m ≤ 3. 又∵ m ≥ 2 ，∴ 2 ≤ m ≤ 3. 由①②知，当 m ≤ 3 时， A ∪ B ＝ A .

举一反三 ：已知集合 A ＝ { x | x 2 ＋ ( p ＋ 2) x ＋ 1 ＝ 0 ， p ∈ R} ，若 A ∩ R * ＝ ∅ ，则实数 p 的取值范围为 ．

即 解得 p ≤－ 4.

故当 A ∩ R * ＝ ∅ 时， p 的取值范围是 ( － 4 ，＋∞ ) ．

2. 做好解题后的反思，查漏补缺

查漏补缺的过程就是反思的过程。除了把不同的问题弄懂以外，还要学会“举一反三”，及时归纳。在一轮复习中我们倡导一题多解，寻找the first简单的解法，而且对这种方法熟练应用达到多法归一。因为高考赢在效率，需要我们在瞬间寻找到the first熟悉、the first简单、the first省时的解题方法。因此，在备考过程中需要做到解题后的反思。反思本题的考点，反思各考点的突破方法，反思本题的命题意图。做到做一题，懂一法，会一类，通一片。例如：（ 2015 宁夏 21 ）设函数 。

（ 1 ）证明： 在 单调递减，在 单调递增；

（ 2 ）若对于任意 ，都有 ，求 m 的取值范围。

本题在the first问函数单调性的证明中导函数的零点不会求，我们该怎么办？在第二问恒成立问题上如何寻找到 的the first大值建立关于 m 的不等式？都是我们备考过程中经常强调的思想方法，只要我们熟练的掌握这些通性通法才能赢得时间，获得高分。

四、注重解题策略，树立陷阱防范意识，培养创新思维

考试是一门学问，高考要想取得好成绩，不仅取决于扎实的基础知识、熟练的基本技能和过硬的解题能力，而且取决于答卷方法和临场的发挥。因此，我们要从平常的考试积累丰富考试经验，把平时考试当做高考，从心理调整、时间分配、位置意识，解题策略、陷阱预防等方面不断调试，逐步适应，才能发挥自己的才能，不留遗憾。

1. 调整心态，把握高考试卷位置意识，合理分配时间

高考数学试卷（全国卷Ⅱ）共 22 道题，位置摆放一般由易到难，其中 80% 的是中档题和抵档题，它着重考查基础知识、基本技能，基本思想方法，这部分分数占到 120 分。考试时，首先，要调整好心态，不能让试题的难度、分量、熟悉程度影响自己的情绪，力争让会做的题不扣分，不会做的题尽量得分。其次，应在规定的时间内完成，讲究快速、准确。难题要舍得放弃，不可在某一道题上纠缠。

2. 解题策略

数学高考试卷的设计，分三种题型：选择题、填空题、解答题，应对不同题型应有不同的答卷策略：

（ 1 ）做选择题要重视选项信息

选择题不仅要研读题干，而且还要注意四个选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可使你的答案更简捷。切记不要“小题大做”，而要“小题巧做”。

例 1 已知 ，则 等于 （ D ） .

A ． B . C . D .5

分析：由于 ，所以 的值是常数，排除选项 A,B 。另外， ，故选择 D 选项。

例 2 关于 x 方程 有only解，则实数 k 取值范围是（ D ）。

A ． k= B.k<-2 或 k>2 C. -2<k<2 D. k<-2 或 k>2 或 k= 

分析：方程 有only解 以坐标原点为圆心，半径为 1 的上半圆与过定点（ 0,2 ）的直线 有一个交点，由图知 k 由三部分构成，故而选择 D 。

课堂教学中通过上述示例，提出选择题的解法探究，提高学生学习兴趣，让学生自主学习、合作探究，培养学生自主学习能力、逻辑思维能力。切记灌输解法！

（ 2 ）做填空题要细心

不是说做其他题型不需要细心，而是说做填空题尤其要细心！因为填空题只要你填写the first终结果，其得分不是满分就是零分．运算求解过程都是在草纸上进行的，所以每一步的运算都要准确无误，宁可慢些也要确保一次做对。另外，在填写答案时，要严格按要求填写．如求函数的单调区间，就不能表示成集合或不等式的形式，曲线的切线方程必须写成直线方程的一般式， 是错的 才是正确答案等等。牢记：细节决定成败！

（ 3 ）做解答题要规范

一是书写要整洁，二是条理清楚、步骤完整，三是不漏得分点。解答题是按步骤评分的，即使不会也尽量不要空着试卷，可以根据题目的已知条件逐步翻译，寻找突破口，也可以结论写出可能用到的公式、方法或判断，如果你写的正好是得分点，就能得分．如果某一步出现错误，后面的解答是否都作废了呢？ 否！ 高考的评分标准是：从出错的那步起往下每步都对的话减半给分，再次出错，后面部分不得分。

3. 树立陷阱防范意识，培养创新意识

心理学研究表明，在高考数学试题中设计各种陷阱，有利于考查思维的批判性和深刻性，从而达到考查创新意识的目的。高考数学试题中的陷阱设置方法较多，有时在概念的理解上设计陷阱，使学生能够准确理解概念；有时在图像上设计陷阱，考查学生思维的延展性；有时在思维定势上设计陷阱，考查学生思维的灵活性；有时在定理、公式的适应条件上设计陷阱，考查学生思维的严谨性……。

（ 1 ）在概念的理解上设计陷阱

数学概念是现实世界空间形式和熟练关系在思维中的反映，是构成数学的基本元 素。准确把握概念是学好数学的前提。例 已知 的the first小值是（ ）

A. B.4 C. D.5

错析：学生初看，本题考查基本不等式，所以，  

，从而选择 B 。这样学生掉进了两次应用基本不等式。而两次不同条件取“ = ”的概念，因此，我们在基本不等式的应用中要注重条件。树立防范陷阱意识。

（ 2 ）在函数图像上设计陷阱

函数图像是函数的一种表示方法，能够直观的描述函数的变化趋势，但也有其局限性。例 集合 则集合 中的元素个数是 。

错析：本题学生应用数形结合思想来解，立意很好，在同一坐标系中绘制出函数 的图像，明显有两个交点。仅仅作出了函数局部图形，缺乏思维的延展性，掉入陷阱。殊不知在 x=2 处还有一个交点。

（ 3 ）在思维定势上设计陷阱

思维定势是由先前活动造成的一种心理准备，使人能够根据已掌握的方法迅速解决问题，但消极的思维定势是束缚创造思维的枷锁。例（ 2014 年全国卷Ⅱ）已知数列 满足 =1 ， .

（Ⅰ）证明 是等比数列，并求 的通项公式；

（Ⅱ）证明： .

错析：该题第二问考查数列的求和，由the first问得知 ，面对分式型数列求和问题，学生容易想到利用裂项相消法求之，但是， 无法直接裂项，此时学生掉入陷阱，束手无策。说明我们受思维定势的约束，不能灵活应用知识，创造条件进行裂项（ ）。同时，我们缺乏思维的灵活性，当我们无法裂项时，可否观察结果，调整思维，不难发现 ，而 ，从而此题得证。

总之，数学高考是考生能力的考查，是对数学思想、方法的综合应用。因此，在高考复习中要注重系统、注重习惯、注重能力。 《标准》指出“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”，因此，在平时的教育教学中要 着实培养学生的四基七能。  

参考文献：

1. 雷旭波，李宁等。 2015 高考理科试题分析 [M]. 北京：高等教育出版社， 2015:89-93

2. 赵文刚，课堂练习设计与考试命题技术实践研究 [M]. 北京：陕西师范大学， 2013:70-120

3. 严士健，张莫迪，王尚志。普通高中数学课程标准 (M) 。南京：江苏教育出版社， 2014.3